$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
(1) $A=r \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2) $B^n=\left( \begin{array}{cc} \cos n\alpha & -\sin n\alpha \\ \sin n\alpha & \cos n\alpha \end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3) $A_n=r_n \left( \begin{array}{cc} \cos \theta_n & -\sin \theta_n \\ \sin \theta_n & \cos \theta_n \end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4) $(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．