5次式$f(x) = x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t \quad (p,\ q,\ r,\ s,\ t \text{は実数})$について考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 数列$f(0),\ f(1),\ f(2),\ f(3),\ f(4)$が等差数列であることと， \[ f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + l x+m \quad (l,\ m \text{は実数}) \] と書けることは互いに同値であることを示せ．
(2) $f(x)$は(1)の条件をみたすものとする．$\alpha$を実数，$k$を3以上の自然数とする．$k$項からなる数列 \[ f(\alpha),\ f(\alpha+1),\ f(\alpha+2),\ \cdots ,\ f(\alpha+k-1) \] が等差数列となるような$\alpha,\ k$の組をすべて求めよ．