大阪府立大学
2012年 文系 第2問
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について，以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2) $\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．
(1) $\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2) $\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3) すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．
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