滋賀医科大学
2010年 医学部 第3問
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次の問いに答えよ．
(1) $a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ． \[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \] ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2) (1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ． \[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3) (2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値 \[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \] を求めよ．
(1) $a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ． \[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \] ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2) (1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ． \[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3) (2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値 \[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \] を求めよ．
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