新潟大学
2015年 理系 第5問
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![自然数nに対して，関数f_n(x)を次のように定める．\begin{array}{ll}f_1(x)=1-\frac{x^2}{2}\phantom{\frac{[]}{2}}&\f_n(x)=∫_0^xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が偶数のとき )\f_n(x)=1-∫_0^xf_{n-1}(t)dt\phantom{\frac{[]}{2}}&(n が 3 以上の奇数のとき )\end{array}次の問いに答えよ．ただし必要があれば，0＜x≦1のときx-\frac{x^3}{3!}＜sinx＜xが成り立つことを用いてよい．(1)関数f_2(x),f_3(x)を求めよ．(2)0≦x≦1のとき，次の不等式が成り立つことを示せ．-\frac{x^4}{4!}≦f_1(x)-cosx≦\frac{x^4}{4!}(3)0≦x≦1のとき，次の不等式-\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}≦f_{2m-1}(x)-cosx≦\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!}がすべての自然数mに対して成り立つことを示せ．(4)極限値\lim_{m→∞}f_{2m-1}(π/6)を求めよ．](./thumb/337/2371/2015_5.png)
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自然数$n$に対して，関数$f_n(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{ll}
f_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{2} \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} & \\
f_n(x)=\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} & (n \text{が偶数のとき}) \\
f_n(x)=1-\int_0^x f_{n-1}(t) \, dt \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} & (n \text{が}3 \text{以上の奇数のとき})
\end{array} \]
次の問いに答えよ．ただし必要があれば，$0<x \leqq 1$のとき$\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．
(1) 関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式 \[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \] がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(1) 関数$f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ -\frac{x^4}{4!} \leqq f_1(x)-\cos x \leqq \frac{x^4}{4!} \]
(3) $0 \leqq x \leqq 1$のとき，次の不等式 \[ -\frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \leqq f_{2m-1}(x)-\cos x \leqq \frac{x^{2m+2}}{(2m+2)!} \] がすべての自然数$m$に対して成り立つことを示せ．
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{m \to \infty} f_{2m-1} \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
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