$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$，重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし， \[ |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=5,\quad 4\overrightarrow{\mathrm{AG}}+3\overrightarrow{\mathrm{BG}}+5\overrightarrow{\mathrm{CG}}=12\overrightarrow{\mathrm{OG}} \] をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) $4 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}+5 \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を示せ．
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$および$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(3) $|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めよ．