座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周$C$上の点を$\mathrm{A}(a,\ b)$とし，$f(x)=(x-a)^2+b$とする．点$\mathrm{B}(0,\ -2)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，接点をそれぞれ$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(q,\ f(q))$とする．ただし$p<q$である．放物線$y=f(x)$と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1) 接線$\ell_1$の方程式と接点$\mathrm{P}$の座標，および接線$\ell_2$の方程式と接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2) 面積$S$を$b$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{A}$が円周$C$上を動くとき，面積$S$の最大値とそのときの点$\mathrm{A}$の座標$(a,\ b)$を求めよ．