広島大学
2016年 文系 第3問
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座標空間に$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \]
がある.ただし,$s>0$とする.$t,\ u,\ v$を実数とし,
\[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
とおく.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき,$u,\ v$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$のとき,$2$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \] となる点とする.四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき,$s$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき,$t$を$s$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$,$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき,$u,\ v$を$s$を用いて表せ.
(3) $(2)$のとき,$2$点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$を \[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \] となる点とする.四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき,$s$の値を求めよ.
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