防衛医科大学校
2010年 医学部 第2問
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以下の問に答えよ．
(1) $0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2) $0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．
(1) $0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2) $0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．
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