$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して，書かれた数字を記録し，カードを元に戻す．この操作を$k$回繰り返したとき，記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で，記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$，$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき，$X=5$となる)．このとき，以下の問に答えよ．
(1) $n=4,\ k=3$とすると，$P(X=2)$はいくらになるか．
(2) $n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ．
(3) $k=3$としたときの$X$の期待値を，$n$を用いて表せ．
(4) $\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い，値$X_A$を得るものとする．$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い，値$X_B$を得るものとする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ．