防衛医科大学校
2014年 医学部 第4問
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$\displaystyle y=f(x)=\tan x \ \ \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},\ -\infty<y<\infty \right)$の逆関数を$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\tan^{-1}x \ \ \left( -\infty<x<\infty,\ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) 次の問に答えよ．
(ⅰ) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ⅱ) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2) 次の問に答えよ．
(ⅰ) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ⅱ) $\tokeiichi$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(ⅲ) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
(1) 次の問に答えよ．
(ⅰ) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．
(ⅱ) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．
(2) 次の問に答えよ．
(ⅰ) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ⅱ) $\tokeiichi$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(ⅲ) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．
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