「z^3」について
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国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第3問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 千葉大学 2016年 第4問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{7}+i \sin \frac{2\pi}{7}$（$i$は虚数単位）とおく．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
(1)$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$を求めよ．
(2)$\alpha=z+z^2+z^4$とするとき，$\alpha+\overline{\alpha}$，$\alpha \overline{\alpha}$および$\alpha$を求めよ．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役複素数である．
(3)$(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)(1-z^5)(1-z^6)$を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第1問$i$を虚数単位とし，$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=z+\frac{1}{z}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．
(4)半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．
(1)$z^5$および$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle t=z+\frac{1}{z}$とおく．$t^2+t$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値を求めよ．
(4)半径$1$の円に内接する正五角形の$1$辺の長さの$2$乗を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第3問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問複素数$z$の方程式$z^3+i=z^2+iz$（$i$は虚数単位）の$3$つの解を，その偏角$\theta$（ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$）の小さい順に$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．複素数平面上で，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，直線$\mathrm{AC}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{E}$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma$を$x+yi$（$x,\ y$は実数）の形でそれぞれ表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)複素数平面上で，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を通る円周上のどの複素数$z$も，$z \overline{z}+sz+t \overline{z}+u=0$を満たすような複素数の定数$s,\ t,\ u$を求めよ．
国立 福岡教育大学 2016年 第3問複素数$z$は実部が$\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}$，虚部は正で$|z|=1$である．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)$\displaystyle \left( z+\frac{1}{z} \right)^2+\left( z+\frac{1}{z} \right)$の値を求めよ．
(2)$1+z+z^2+z^3+z^4$の値を求めよ．
(3)$z$の偏角$\theta$を求めよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
私立 北里大学 2016年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は，$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である．
(3)$i$を虚数単位とし，$z=-1+\sqrt{3}i$とすると，
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である．また，$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると，
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる．
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である．
(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える．
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき，これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する．
また，$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき，$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは，$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している．
私立 自治医科大学 2016年 第9問複素数$z$は，$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9=0$を満たす．
$\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}$の値を求めよ．
$\displaystyle \frac{|z-2|^2+|z+2|^2}{5}$の値を求めよ．
私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第4問$p$を素数とするとき，以下の命題を証明しなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a$は$p$の倍数である．
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である．
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき，$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば，$a=b=c=0$である．
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき，$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば，$x=y=z=0$である．