「x^4」について
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（1ページ目：全159問中1問～10問を表示）
国立 新潟大学 2016年 第1問整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第1問整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第2問実数$a,\ b$に対し，関数
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち，その極値が$0$以上になるとする．次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき，$a-2b$の最大値を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第4問曲線$C:x^4-2xy+y^2=0$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$y$を$x$の式で表し，$x$の値の取り得る範囲を求めよ．
(2)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$上の点$(x,\ y)$に対して，$y$を$x$の式で表し，$x$の値の取り得る範囲を求めよ．
(2)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(3)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 東北大学 2016年 第4問多項式$P(x)$を
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$に対して，
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．
\[ P(x)=\frac{(x+i)^7-(x-i)^7}{2i} \]
により定める．ただし，$i$は虚数単位とする．以下の問いに答えよ．
(1)$P(x)=a_0x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+a_7$とするとき，係数$a_0,\ \cdots,\ a_7$をすべて求めよ．
(2)$0<\theta<\pi$に対して，
\[ P \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)=\frac{\sin 7\theta}{\sin^7 \theta} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(1)$で求めた$a_1,\ a_3,\ a_5,\ a_7$を用いて，多項式$Q(x)=a_1x^3+a_3x^2+a_5x+a_7$を考える．$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{7}$として，$k=1,\ 2,\ 3$について
\[ x_k=\frac{\cos^2 k\theta}{\sin^2 k\theta} \]
とおく．このとき，$Q(x_k)=0$が成り立つことを示し，$x_1+x_2+x_3$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第3問曲線$C:x^4-2xy+y^2=0$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(2)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$C$上の点で，$x$座標が最大となる点と，$y$座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(2)$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
国立 香川大学 2016年 第3問$3$つの関数$f(x)=\log_3(18-x)$，$g(x)=\log_3(4x^2)$，$h(x)=\log_9(4x^4)$について，次の問に答えよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第2問次の各問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
(1)整式$P(x)$を$0$でない整式$Q(x)$で割った余りを$R(x)$とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解は方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解であることを示せ．また逆に方程式$Q(x)=0$と$R(x)=0$の共通解は方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解であることを示せ．
(2)整式$P(x),\ Q(x)$を
\[ P(x)=x^4+2x^3+x^2-1,\quad Q(x)=x^3+2x^2-1 \]
とおく．方程式$P(x)=0$と$Q(x)=0$の共通解をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$
(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$
(2)次の定積分の値を求めよ．
(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$
(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$
\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$