「2次方程式」について
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国立 九州大学 2012年 第4問$p$と$q$はともに整数であるとする．2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち，条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．
公立 青森公立大学 2012年 第1問次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．
国立 名古屋大学 2011年 第4問$a,\ b$は$a \geqq b > 0$を満たす整数とし，$x$と$y$の2次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad y^2+by+a=0 \]
がそれぞれ整数解をもつとする．
(1)$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．
(2)$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
\[ x^2+ax+b=0,\quad y^2+by+a=0 \]
がそれぞれ整数解をもつとする．
(1)$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．
(2)$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．
国立 徳島大学 2011年 第3問曲線$C$を$y^2-4y-8x+20=0$とする．
(1)曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように，$a,\ b$の値を定めよ．
(2)点$(0,\ t)$を通り，傾きが$\displaystyle \frac{1}{m}$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C$が接するとき，$m$の満たす2次方程式を求めよ．
(3)点$(0,\ t)$から曲線$C$に引いた2本の接線は，$t$の値によらず垂直であることを示せ．
(1)曲線$y^2=8x$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して曲線$C$が得られるように，$a,\ b$の値を定めよ．
(2)点$(0,\ t)$を通り，傾きが$\displaystyle \frac{1}{m}$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C$が接するとき，$m$の満たす2次方程式を求めよ．
(3)点$(0,\ t)$から曲線$C$に引いた2本の接線は，$t$の値によらず垂直であることを示せ．
国立 山口大学 2011年 第3問$p,\ q$を整数とする．2次方程式$x^2+px+q=0$が異なる2つの実数解$\alpha,\ \beta \ (\alpha < \beta)$を持ち，区間$[\,\alpha,\ \beta\,]$には，ちょうど2つの整数が含まれているとする．$\alpha$が整数でないとき，$\beta-\alpha$の値を求めなさい．
国立 島根大学 2011年 第3問$U=\{k \; | \; k\text{は自然数，}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし，$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
国立 鳥取大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x,\ y$が，$2^x=8^{y+1},\ 9^y=3^{x-9}$を満たすとき，$x+y$の値を求めよ．
(2)$x$についての2次方程式$\displaystyle x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$の2つの解を$x_1,\ x_2$とするとき，$|x_1-x_2|$の値を求めよ．
(3)$x$が，方程式$\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$を満たすとき，$x^2$の値を求めよ．
(1)$x,\ y$が，$2^x=8^{y+1},\ 9^y=3^{x-9}$を満たすとき，$x+y$の値を求めよ．
(2)$x$についての2次方程式$\displaystyle x^2-px+\frac{p^2-1}{4}=0$の2つの解を$x_1,\ x_2$とするとき，$|x_1-x_2|$の値を求めよ．
(3)$x$が，方程式$\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3$を満たすとき，$x^2$の値を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第1問実数$a$に対して$2$次方程式
\[ x^2-5x+6-a=0 \]
を考える．また，この$2$次方程式が整数解を持つような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)この2次方程式が実数解を持つような$a$の範囲を求めなさい．
(2)$a_1$と$a_2$を求めなさい．
(3)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とおく．$S_n$を$n$の式で表しなさい．
\[ x^2-5x+6-a=0 \]
を考える．また，この$2$次方程式が整数解を持つような$a$を小さい順に並べたものを$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$とする．以下の問いに答えなさい．
(1)この2次方程式が実数解を持つような$a$の範囲を求めなさい．
(2)$a_1$と$a_2$を求めなさい．
(3)$a_n$を$n$の式で表しなさい．
(4)$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$とおく．$S_n$を$n$の式で表しなさい．
公立 首都大学東京 2011年 第3問2次の正方行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$のすべての成分は正であるとする．以下の問いに答えなさい．
(1)$t$の2次方程式
\[ t^2-(a+d)t+ad-bc=0 \cdots\cdots \ (*) \]
が異なる2つの実数解をもつことを示し，また，大きい方の解は正であることを示しなさい．
(2)$(*)$の大きい方の解を$t=\beta$と表す．実数$y$で，
\[ (A-\beta E) \biggl( \begin{array}{c}
b \\
y
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \biggr) \]
をみたすものを求めなさい．ただし，$E$は2次の単位行列とする．
(3)(2)で求めた$y$が正であることを示しなさい．
国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．