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東京女子大学 私立 東京女子大学 2016年 第6問
初項が$3$である数列$\{a_n\}$と,その階差数列$\{b_n\}$が,すべての自然数$n$に対して,条件$a_n-b_n=-1$をみたしている.このとき,以下の設問に答えよ.

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)$a_n \leqq 99999999$となる最大の$n$を求めよ.$\log_{10}2=0.3010$は用いてよい.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第2問
以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある.
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.$\{b_n\}$は等比数列で,初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$,公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと,$p=[$13$]$,$q=[$14$]$となる.ゆえに,$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと,$r=[$15$]$,$s=[$16$]$となる.さらに,$\{a_n\}$の第$n$項は,
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる.ここで,$t=[$20$]$,$u=[$21$]$,$v=[$22$]$である.
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると,
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる.ここで,$w=[$27$]$,$x=[$28$]$,$y=[$29$]$,$z=[$30$]$である.
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる.
京都産業大学 私立 京都産業大学 2016年 第1問
以下の$[ ]$にあてはまる式または数値を記入せよ.

(1)不等式$|2x-4|>x$を満たす$x$の値の範囲は$[ ]$である.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき,$2 \sin^2 \theta \geqq 3 \cos \theta+3$を満たす$\theta$の値の範囲は$[ ]$である.
(3)以下の数列$\{a_n\}$の階差数列は等差数列になっている.この数列$\{a_n\}$の第$21$項の値は$[ ]$である.
\[ 3,\ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ \cdots \]
(4)$2$つのベクトル$\displaystyle \overrightarrow{a}=\left( x,\ \frac{1}{2} \right),\ \overrightarrow{b}=\left( 2,\ \frac{7}{2} \right)$について,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$とが垂直であるとき,実数$x$の値は$[ ]$である.
(5)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+2x}+x \right)$の値は$[ ]$である.
電気通信大学 国立 電気通信大学 2015年 第4問
数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$,公差が正の定数$d$の等差数列とする.このとき,自然数の定数$p$を用いて
\[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定まる数列$\{b_n\}$について考える.ただし,$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す.以下の問いに答えよ.

(1)数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ.さらに,数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ.
(2)ある定数$C$を用いて
\[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と表すことができる.このとき,$C$を$d,\ p$を用いて表せ.
以下の問いでは,数列$\{b_n\}$が初項から順に
\[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \]
となる場合を考える.
(3)定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(4)数列$\{b_n\}$に対して,
\[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
滋賀県立大学 公立 滋賀県立大学 2015年 第3問
数列$\{a_n\}$とその階差数列$\{b_n\}$に対して,
\[ a_1=1,\quad \frac{a_n}{n}=(3n-2)b_{n-1} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする.

(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n b_k$を求めよ.
会津大学 公立 会津大学 2015年 第2問
数列$\{a_n\}$およびその階差数列$\{b_n\}$を次のように定める.

$a_1=1$
$a_{n+1}=2a_n+n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき,以下の空欄をうめよ.

(1)$b_1=[イ]$であり,$b_{n+1}$を$b_n$の式で表すと,$b_{n+1}=[ロ]$である.
(2)$b_n$を$n$の式で表すと,$b_n=[ハ]$である.
(3)$a_n$を$n$の式で表すと,$a_n=[ニ]$である.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2014年 第5問
数列$\{a_n\}$に対してつぎのように定められる数列$\{b_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列という.
\[ b_n=a_{n+1}-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\{b_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とし,$\{c_n\}$の階差数列を$\{d_n\}$としよう.いま
\[ a_1=1,\quad b_1=2,\quad c_1=4 \]
であり,$d_n$はすべて$8$に等しいとする.このとき
\[ a_5=[$101$][$102$],\quad a_6=[$103$][$104$][$105$],\quad a_7=[$106$][$107$][$108$] \]
であり,一般に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,
\[ a_n=\frac{1}{3} \left( [$109$][$110$]n^3-[$111$][$112$]n^2+[$113$][$114$]n-[$115$][$116$] \right) \]
である.
西南学院大学 私立 西南学院大学 2014年 第3問
数列$\{\beta_n\}$の階差数列が,初項$3$,公差$2$の等差数列であるとし,$\beta_1=1$とする.$2$次方程式
\[ x^2-a_nx+b_n=0 \]
の$2$つの解が$\beta_n,\ \beta_{n+1}$となるとき,次の問に答えよ.

(1)$b_2=[ナニ]$である.
(2)$a_9=[ヌネノ]$である.
(3)$x^2-a_nx+b_n$の最小値を$M_n$とすると,数列$\{M_n\}$の階差数列は,初項$[ハヒ]$,公差$[フヘ]$の等差数列となる.
獨協大学 私立 獨協大学 2014年 第1問
次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを,$x$軸方向に$[$1$]$,$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである.
(2)次の式の分母を有理化せよ.
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$,$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り,線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される.
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている.その階差数列を$\{b_n\}$とする.このとき,$b_1=[$8$]$,$b_2=[$9$]$であり,数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる.
(5)$x+y=20$,$x>0$,$y>0$であるとき,$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である.
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は,$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる.
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$,$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について,$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$,$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する.また,このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる.
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$がいる.この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ.このとき,男性が選んだ女性がその男性を選べば,その男女をペアとする.たとえば,男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び,女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば,その男女はペアとなる.このとき,ペアが全くできない確率は$[$17$]$,ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$,ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である.
和歌山大学 国立 和歌山大学 2013年 第1問
数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$は次の条件を満たしている.

$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$,$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列,$\{b_n\}$は等差数列

また,$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ.
(2)$S_n$を求めよ.
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ.
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「階差数列」とは・・・

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