数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$，公差が正の定数$d$の等差数列とする．このとき，自然数の定数$p$を用いて \[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定まる数列$\{b_n\}$について考える．ただし，$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す．以下の問いに答えよ．
(1) 数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ．さらに，数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ．
(2) ある定数$C$を用いて \[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と表すことができる．このとき，$C$を$d,\ p$を用いて表せ．
以下の問いでは，数列$\{b_n\}$が初項から順に \[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \] となる場合を考える．
(3) 定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(4) 数列$\{b_n\}$に対して， \[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおく．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．