次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}$

(ii) $\displaystyle y=\log \sqrt{\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}-x}}$


(2)次の定積分の値を求めよ．


(i) $\displaystyle \int_0^2 |e^x-2| \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin^2 (2x) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_1^e \frac{\sqrt{1+\log x}}{x} \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_2^4 \frac{2x^3+x^2-2x+2}{x^4+x^2-2} \, dx$

関数$\displaystyle f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}$について，次の各問いに答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)$x \geqq 0$において$f^\prime(x) \geqq 0$および$f(x) \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)$f(x)$の定積分を利用して$\displaystyle \sin 1 \geqq \frac{5}{6}$を示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}$のグラフの概形をかけ．

(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 x \sqrt{2-x} \, dx$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

座標平面上の放物線$y=-x^2+2$を$C_1$とし，$0<t<\sqrt{2}$に対して，$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り，$y$軸を軸とし原点を頂点とする放物線を$C_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C_2$の方程式を求めよ．
(2)放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_2(t)$の$0<t<\sqrt{2}$における最大値とそのときの$t$を求めよ．
(4)放物線$C_1$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とするとき，$S_1(t)=S_2(t)$となる$t$を求めよ．

$3$つの関数$f(x)=\log_3(18-x)$，$g(x)=\log_3(4x^2)$，$h(x)=\log_9(4x^4)$について，次の問に答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0<x<2$のとき，$f(x)$，$g(x)$，$h(x)$の大小を比較せよ．
(3)関数$\displaystyle y=f(x)-\frac{1}{2}g(x)+h(x)$の$0<x<18$における最大値とそのときの$x$を求めよ．

$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく．$\ell$が$2$直線$x=-1$，$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S(t)$の最小値，およびそのときの$t$の値を求めよ．
(4)$t<1$のとき，$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ．またそのとき，線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と，線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ．