「関数」について
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(5ページ目:全2213問中41問~50問を表示)![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
実数$a,\ b$に対し,関数
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち,その極値が$0$以上になるとする.次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ.
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき,$a-2b$の最大値を求めよ.
\[ f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+b \]
がただ$1$つの極値をもち,その極値が$0$以上になるとする.次の問いに答えよ.
(1)$a,\ b$のみたす条件を求めよ.
(2)$a,\ b$が$(1)$の条件をみたすとき,$a-2b$の最大値を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
次の問いに答えよ.
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ.
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする.次の問いに答えよ.
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
\mon[(ア)] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
\mon[(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
\mon[(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ.
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め,数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.
\mon[(ア)] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ.
\mon[(イ)] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
\mon[(ウ)] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする.$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と,そのときの$f(x)$の値を求めよ.
(2)$a>0$とする.曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$,$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える.$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする.
\mon[(ア)] $C$と$\ell_1$の交点,および,$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ.
\mon[(イ)] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ.ただし,$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい.
\mon[(ウ)] $D$の面積を$a$を用いて表せ.
\mon[(エ)] $D$の面積を最小にする$a$の値と,そのときの$D$の面積を求めよ.
![滋賀医科大学](./img/univ/shigaika.png)
次の問いに答えよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく.定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ.
(2)$b$を実数とし,$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める.$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする.
(i) $b$を求めよ.
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
![筑波大学](./img/univ/tsukuba.png)
関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め,$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい.
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ.
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し,関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件(ア),(イ),(ウ)で定める.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$a=1,\ b=6$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ.
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
(ア) $f_1(x)=\sin (\pi x)$
(イ) $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(ウ) $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ.
(1)$a=2,\ b=3$のとき,$f_5(0)$を求めよ.
(2)$a=1,\ b=6$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} (-1)^k f_{2k}(0)$を求めよ.
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて,$1$回目に出る目を$a$,$2$回目に出る目を$b$とするとき,$f_6(0)=0$となる確率を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$a$は実数とする.関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について,次の問いに答えよ.
(1)$2$つの関数のグラフの共有点の個数とそのときの$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき,それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ.
(1)$2$つの関数のグラフの共有点の個数とそのときの$a$の値の範囲を求めよ.
(2)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき,それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ.
![群馬大学](./img/univ/gunma.png)
$a>0$とする.関数$f(x)=2x^2-4 |x|+a$と$g(x)=|x|-a$について,次の問いに答えよ.
(1)$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ.
(2)$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ.
(3)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき,それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ.
(1)$a=1$のときの$2$つの関数のグラフをかけ.
(2)$2$つの関数のグラフが$2$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ.
(3)$2$つの関数のグラフが共有点をもつとき,それらの$x$座標の絶対値がすべて$1$以上かつ$3$以下になるような$a$の値の範囲を求めよ.
![宮城教育大学](./img/univ/miyagikyouiku.png)
実数$a$は$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$であるとする.関数$f(x)=\sqrt{x}-a \log x$について次の問いに答えよ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.
(1)関数$y=f(x)$の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べて,そのグラフの概形をかけ.ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}=0$となることを用いてよい.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$は$\ell$と垂直な接線をもつことを示せ.