「関数」について
タグ「関数」の検索結果
(4ページ目:全2213問中31問~40問を表示)![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
次の各問に答えよ.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,$\log$は自然対数を表す.また,等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2)$a$を正の実数とする.このとき,$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ.
(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,$\log$は自然対数を表す.また,等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい.
(2)$a$を正の実数とする.このとき,$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ.
(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ.ただし,$e$は自然対数の底である.
![大阪教育大学](./img/univ/osakakyouiku.png)
以下の問に答えよ.
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ.
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ.
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ.
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ.
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ.
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ.
![静岡大学](./img/univ/shizuoka.png)
次の各問に答えよ.
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する.
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する.
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
![滋賀大学](./img/univ/shiga.png)
$k$を定数とする.関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について,次の問いに答えよ.
(1)方程式$f(x)=0$が,異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が,ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする.このとき,$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
(1)方程式$f(x)=0$が,異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
(2)方程式$f(x)=0$が,ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ.
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする.このとき,$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ.
![滋賀大学](./img/univ/shiga.png)
関数$f(x)=x^3-5x^2+6x+1$について,次の問いに答えよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,不等式$f(x)>0$が成り立つことを証明せよ.
(2)$a$を$0$以上の定数とし,曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$,$x=a+1$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$a$を変化させたとき,$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
次の問いに答えよ.
(1)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ.
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
(1)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ.
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ.
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,$t>0$とする.曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする.$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする.$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ.
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする.$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ.
(4)$n \geqq 7$とする.放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする.$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ.
![山形大学](./img/univ/yamagata.png)
$n$を自然数とし,$t>0$とする.曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$,$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ.
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ.
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ.
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ.
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ.