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国立 香川大学 2016年 第1問$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次のように定める．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問に答えよ．
(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=2a_n+b_n,\quad 2b_{n+1}=a_n+3b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問に答えよ．
(1)$c_n=a_n+b_n$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
国立 佐賀大学 2016年 第2問空間に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 6)$，$\mathrm{B}(7,\ 0,\ 9)$，$\mathrm{C}(s,\ t,\ 0)$がある．ただし，$s,\ t$は実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$s$と$t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC|}}$となるとき，$s$と$t$の関係式を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$の直角二等辺三角形となるとき，$s$と$t$の値を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第2問以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2)$f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3)$2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して
\[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \]
が成り立つとき，
\[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \]
を示せ．
(4)$-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
国立 鹿児島大学 2016年 第7問次の各問いに答えよ．
(1)複素数$z,\ w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す．
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．次の各問いに答えよ．
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ．
(1)複素数$z,\ w$について，次の関係が成立することを示せ．ただし複素数$\alpha$に対し，$\overline{\alpha}$は$\alpha$と共役な複素数を表す．
(i) $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
(ii) $\overline{zw}=\overline{z} \ \overline{w}$
(2)方程式$z^2-z+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．次の各問いに答えよ．
(i) $\alpha,\ \beta$を求めよ．さらにそれらを極形式で表せ．
(ii) $\alpha^{100}+\beta^{100}$を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第5問関数$F(x)$と連続関数$f(t)$の関係が
\[ F(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
で与えられるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(t)=e^t-e^{-t}$のとき，$F(x)$を求めよ．
(2)$2$つの連続関数$g(t)$，$h(t)$において，$g(-t)=g(t)$，$h(-t)=-h(t)$が常に成り立つとする．$f(t)=g(t)+h(t)$とするとき，$F^{\prime}(x)$を求めよ．
(3)$f(t)=t^2-1+(e^t-e^{-t}) \cos t$のとき，$x>0$における$F(x)$の最小値を求めよ．
\[ F(x)=\int_{-x}^x f(t) \, dt \]
で与えられるとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(t)=e^t-e^{-t}$のとき，$F(x)$を求めよ．
(2)$2$つの連続関数$g(t)$，$h(t)$において，$g(-t)=g(t)$，$h(-t)=-h(t)$が常に成り立つとする．$f(t)=g(t)+h(t)$とするとき，$F^{\prime}(x)$を求めよ．
(3)$f(t)=t^2-1+(e^t-e^{-t}) \cos t$のとき，$x>0$における$F(x)$の最小値を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問$6$枚の硬貨に$1$から$6$まで番号を$1$つずつ付け，はじめにすべて表向きにして並べておき，以下の操作を繰り返す．
\begin{waku}[操作]
さいころを$2$個投げて出た目の小さい方から大きい方までの番号の硬貨を裏返す．ただし，$2$個のさいころの目が同じ場合はその番号の硬貨のみを裏返す．
\end{waku}
たとえば，$1$回目にさいころを$2$個投げて$2$と$4$の目が出たとすると，番号$2,\ 3,\ 4$の硬貨を裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，裏，裏，表，表となる．続いて$2$回目にさいころを$2$個投げて$2$個とも$3$の目が出たとすると，番号$3$の硬貨のみを裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，表，裏，表，表となる．
(1)$1$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[コ]$であり，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[サ]$である．また，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の硬貨のうち少なくとも一方の向きが表である確率は$[シ]$である．
(2)$n$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の$2$つの硬貨の向きがともに表である確率を$p_n$，ともに裏である確率を$q_n$とする．このとき，関係式
$p_{n+1}-q_{n+1}=[ス](p_n-q_n)+[セ]$
$p_{n+1}+q_{n+1}=[ソ](p_n+q_n)+[タ]$
が成り立ち，$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=[チ]$となる．ただし，$[ス]$～$[タ]$には数を記入すること．
\begin{waku}[操作]
さいころを$2$個投げて出た目の小さい方から大きい方までの番号の硬貨を裏返す．ただし，$2$個のさいころの目が同じ場合はその番号の硬貨のみを裏返す．
\end{waku}
たとえば，$1$回目にさいころを$2$個投げて$2$と$4$の目が出たとすると，番号$2,\ 3,\ 4$の硬貨を裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，裏，裏，表，表となる．続いて$2$回目にさいころを$2$個投げて$2$個とも$3$の目が出たとすると，番号$3$の硬貨のみを裏返すので硬貨の向きは番号$1$の硬貨から順に表，裏，表，裏，表，表となる．
(1)$1$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[コ]$であり，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$の硬貨の向きが表である確率は$[サ]$である．また，$2$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の硬貨のうち少なくとも一方の向きが表である確率は$[シ]$である．
(2)$n$回目の操作を終えたとき番号$3$と番号$4$の$2$つの硬貨の向きがともに表である確率を$p_n$，ともに裏である確率を$q_n$とする．このとき，関係式
$p_{n+1}-q_{n+1}=[ス](p_n-q_n)+[セ]$
$p_{n+1}+q_{n+1}=[ソ](p_n+q_n)+[タ]$
が成り立ち，$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=[チ]$となる．ただし，$[ス]$～$[タ]$には数を記入すること．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問以下の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
\[ a_1=\frac{1}{10},\quad a_{n+1}=\frac{1}{100}a_n+\frac{1}{10} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$\{a_n\}$の階差数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．$\{b_n\}$は等比数列で，初項を$\displaystyle \frac{1}{{10}^p}$，公比を$\displaystyle \frac{1}{{10}^q}$とおくと，$p=[$13$]$，$q=[$14$]$となる．ゆえに，$\{b_n\}$の第$n$項を
\[ b_n=\frac{1}{{10}^{rn+s}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおくと，$r=[$15$]$，$s=[$16$]$となる．さらに，$\{a_n\}$の第$n$項は，
\[ a_n=a_1+\sum_{k=[$17$]}^{n+[$18$][$19$]} b_k=\frac{\displaystyle\frac{1}{{10}^t} \left( 1-\frac{1}{{10}^{un}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^v}} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
と求められる．ここで，$t=[$20$]$，$u=[$21$]$，$v=[$22$]$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{{10}^{2k} a_k a_{k+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．関係式
\[ \frac{b_k}{a_k a_{k+1}}=\frac{[$23$][$24$]}{a_k}+\frac{[$25$][$26$]}{a_{k+1}} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を用いて計算すると，
\[ S_n=\frac{{10}^w \left( 1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{xn}} \right)}{1-\displaystyle\frac{1}{{10}^{yn+z}}} \]
となる．ここで，$w=[$27$]$，$x=[$28$]$，$y=[$29$]$，$z=[$30$]$である．
(3)$({100}^{n+1}-1)S_n$は$[$31$]n+[$32$][$33$]$桁の整数になる．
私立 早稲田大学 2016年 第2問$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
私立 愛知工業大学 2016年 第1問次の$[ ]$を適当に補え．$(6)$，$(7)$は選択問題である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．
(1)$a$を定数とする．不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす$x$の範囲は$[ア]$である．また，不等式$x^2-(4a+1)x+4a^2+2a<0$をみたす整数$x$が$x=2$だけであるような$a$の範囲は$[イ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は関係式
\[ a_1=3,\quad a_{n+1}-a_n=2(3^n-n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．このとき，$a_4=[ウ]$であり，$a_n=[エ]$である．
(3)$\displaystyle \log_2(4-x)+\log_4(x-1)=\frac{1}{2}$をみたす$x$は$x=[オ]$である．
(4)$a$を定数とし，$f(x)=x^3-3x^2-9x+a$とする．区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最小値が$5$であるとき，$a=[カ]$である．またこのとき，区間$-2 \leqq x \leqq 0$における$f(x)$の最大値は$[キ]$である．
(5)$\displaystyle z=\frac{1+i}{\sqrt{3}+i}$とする．$z^n$が実数となる最小の自然数$n$は$n=[ク]$であり，このとき，$z^n=[ケ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(6)$1$枚の硬貨を投げ，表が出たときは白球$1$個を壺に入れ，裏が出たときは黒球$1$個を壺に入れる．硬貨を$3$回投げて壺に$3$個の球が入っている．
(i) 壺に白球$1$個と黒球$2$個が入っている確率は$[コ]$である．
(ii) 壺の中から$2$個の球を同時に取り出したとき，それが白球$1$個と黒球$1$個である確率は$[サ]$である．
(7)等式$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{5}{y}=1$をみたす自然数$x,\ y$の組は$(x,\ y)=[シ]$である．