お茶の水女子大学
2016年 物理・情報科学 第2問
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以下では$n$は$0$以上の整数とする．関係式
\[ H_0(x)=1,\quad H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n^\prime(x) \]
によって多項式$H_0(x),\ H_1(x),\ \cdots$を定め，$\displaystyle f_n(x)=H_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1) $-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2) $f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3) $2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して \[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \] が成り立つとき， \[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \] を示せ．
(4) $-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
(1) $-f_0^{\prime\prime}(x)+x^2f_0(x)=a_0f_0(x)$が成り立つように定数$a_0$を定めよ．
(2) $f_{n+1}(x)=xf_n(x)-f_n^\prime(x)$を示せ．
(3) $2$回微分可能な関数$f(x)$に対して，$g(x)=xf(x)-f^\prime(x)$とおく．定数$a$に対して \[ -f^{\prime\prime}(x)+x^2f(x)=af(x) \] が成り立つとき， \[ -g^{\prime\prime}(x)+x^2g(x)=(a+2)g(x) \] を示せ．
(4) $-f_n^{\prime\prime}(x)+x^2f_n(x)=a_nf_n(x)$が成り立つように定数$a_n$を定めよ．
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