「長さ」について
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国立 奈良女子大学 2016年 第2問座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(t,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある．ここで，$t$は実数全体を動くものとする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{D}$，外心を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し，それを$f(t)$とおく．関数$y=f(t)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(1)点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{DE}$の長さの$2$乗を$t$を用いて表し，それを$f(t)$とおく．関数$y=f(t)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
国立 奈良女子大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}=4$，$\mathrm{CD}=6$であるとする．次の問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
(1)三角形$\mathrm{BCD}$の面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．
(3)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AM}$へ下ろした垂線と直線$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，線分$\mathrm{BH}$の長さを求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2016年 第2問平面内にベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$がある．下の問いに答えなさい．
(1)次の等式を証明しなさい．
\[ |\overrightarrow{a|+\overrightarrow{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2)$m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ |m \overrightarrow{a|+n \overrightarrow{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．
(1)次の等式を証明しなさい．
\[ |\overrightarrow{a|+\overrightarrow{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2)$m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ |m \overrightarrow{a|+n \overrightarrow{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．
国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2016年 第2問原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上に$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，および$y>0$を満たす動点$\mathrm{C}(x,\ y)$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$，そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．
(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$，円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき，$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}_1$の半径$r_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$x$軸，辺$\mathrm{AC}$の延長線，および辺$\mathrm{BC}$とそれぞれ接する円$\mathrm{O}_2$を考える．$x$軸上の接点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の$\mathrm{C}$側の延長上の接点を$\mathrm{E}$，そして辺$\mathrm{BC}$上の接点を$\mathrm{F}$とする．
(i) $\mathrm{AD}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_2$の半径$r_2$を$\theta$を用いて表せ．
(iii) 円$\mathrm{O}_1$の中心を$\mathrm{I}$，円$\mathrm{O}_2$の中心を$\mathrm{J}$とする．$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=2$となるとき，$\triangle \mathrm{OIJ}$の面積を求めよ．
国立 旭川医科大学 2016年 第3問$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．
(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．
(i) $d(a)$を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(iii) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
(3)$d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
国立 帯広畜産大学 2016年 第2問関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
国立 愛媛大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2016年 第1問\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．
$1$辺の長さが$a$の正方形$\mathrm{S}_1$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_2$を描いて，正方形$\mathrm{S}_1$から正方形$\mathrm{S}_2$を除いた領域$\mathrm{B}_1$を黒く塗る．次に正方形$\mathrm{S}_2$に内接する円を描き，この円に内接する正方形$\mathrm{S}_3$を描いて，正方形$\mathrm{S}_2$から正方形$\mathrm{S}_3$を除いた領域$\mathrm{W}_1$を白く塗る．同様に$m$番目の正方形$\mathrm{S}_m$の内接円に内接する正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を描き，正方形$\mathrm{S}_m$から正方形$\mathrm{S}_{m+1}$を除いた領域を黒，白，黒，白と交互に塗ることを繰り返す．ただし，$m$は自然数であるとする．以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}
(1)$\mathrm{S}_1$から$\mathrm{S}_2$を除いた黒い領域$\mathrm{B}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{S}_2$から$\mathrm{S}_3$を除いた白い領域$\mathrm{W}_1$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$1$番目の黒い領域$\mathrm{B}_1$から$n$番目の黒い領域$\mathrm{B}_n$までの面積の和を$a$と$n$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数であるとする．
(4)黒い領域$\mathrm{B}_1$から$\mathrm{B}_n$までの面積の和において，$n \to \infty$としたときの極限$P$を$a$を用いて表せ．
(5)$1$番目の白い領域$\mathrm{W}_1$から$n$番目の白い領域$\mathrm{W}_n$までの面積の和を求め，$n \to \infty$としたときの極限$Q$を$a$を用いて表せ．次に$\displaystyle \frac{P}{Q}$の値を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問$3$辺の長さが$x$，$x+1$，$x+2$である三角形が鈍角三角形となるような$x$の値の範囲を求めよ．