$a$を正の実数とする．点$\mathrm{P}$は曲線$C_a:y=e^{ax}$上を，点$\mathrm{Q}$は直線$y=x$をそれぞれ動く．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 曲線$C_a$と直線$y=x$が共有点をもたないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2) $(1)$で求めた範囲にある$a$に対して，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d(a)$とする．$\mathrm{PQ}$の長さが$d(a)$となる曲線$C_a$上の点を$\mathrm{P}_a$とする．
(ⅰ) $d(a)$を求めよ．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}_a$における曲線$C_a$の接線の傾きを求めよ．
(ⅲ) $a$が$(1)$で求めた範囲を動くときの点$\mathrm{P}_a$の軌跡を求め，その概形を図示せよ．
(3) $d(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．