関数$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$のグラフと$x$軸によって囲まれた部分を$A$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)等式$\displaystyle \frac{1-x^2}{1+x^2}=a+\frac{b}{1+x^2}$が，$x$についての恒等式となるように定数$a,\ b$を定めると，$a=[イ]$，$b=[ロ]$である．
(2)$A$の面積は$[ハ]$である．
(3)$A$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は$[ニ]$である．

曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．

関数$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$の交点の座標を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$，および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+9x$について，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．
(2)定数$a$に対し，直線$\ell:y=ax$が曲線$C$と$x=2$で交点をもつとき，$a$の値と全ての交点の座標を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで曲線$C$と直線$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)直線$\ell$が曲線$C$と$x \geqq 0$の範囲で異なる$3$点で交わるような$a$の値の範囲を求めよ．

曲線$C:y=(\log_e x)^2$とする．

(1)点$(0,\ 3)$から$C$に引いた接線の方程式をすべて求めよ．
(2)$C$と$x$軸，および直線$x=e$で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．

(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．

$2$つの関数を$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\sqrt{1-x^2} (-1 \leqq x \leqq 1)$，$\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}x$とする．$xy$平面上に，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=g(x)$がある．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$のとき，不等式$|f(x)|>|g(x)|$を解け．
(3)$V$の値を求めよ．

$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．