会津大学
2016年 コンピュータ理工 第4問
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![曲線y=e^{-x}をCとし，nを自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．(1)曲線C上の点P(t,e^{-t})における接線がx軸と交わる点をQとする．点Qのx座標は[イ]である．(2)一般に，曲線C上の点P_nが与えられたとき，この点P_nにおける接線がx軸と交わる点をQ_nとし，点Q_nを通り，x軸に垂直な直線と曲線Cの交点をP_{n+1}とする．P_1(0,1)から出発して，Q_1，P_2，Q_2，・・・のように点をとる．このとき，点Q_nのx座標は[ロ]である．(3)曲線C，直線P_nQ_nおよび直線Q_nP_{n+1}で囲まれた部分の面積をS_nとする．このとき，S_n=[ハ]である．(4)Σ_{n=1}^∞S_n=[ニ]である．](./thumb/78/2184/2016_4.png)
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曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{イ}$である．
(2) 一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$\fbox{ロ}$である．
(3) 曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=\fbox{ハ}$である．
(4) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\fbox{ニ}$である．
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\fbox{イ}$である．
(2) 一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$\fbox{ロ}$である．
(3) 曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=\fbox{ハ}$である．
(4) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=\fbox{ニ}$である．
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