座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．
(1) $y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ． \[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2) 積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3) $\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．