「逆関数」について
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（1ページ目：全26問中1問～10問を表示）
国立 広島大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．
(3)$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．
(3)$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第1問次の各問の解答を記入せよ．
(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
(1)正の整数$a$に対して，ある整数$b$が存在して$63a-32b=1$を満たすとする．$a$はこのような性質を満たす正の整数のうちで最小のものであるとする．このとき$ab$の値を求めよ．
(2)$3$個のさいころを同時に投げたとき，出た目すべての積が$4$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$a_1=a_2=1$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし，
\[ b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とおく．$b_1$から$b_{2016}$までの$2016$個の整数のうち$3$の倍数であるものは全部で何個あるか．
(4)$y=f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続な関数で$f(0)=0$，$f(1)=1$であり，$0 \leqq x_1<x_2 \leqq 1$であるすべての$x_1,\ x_2$に対して$f(x_1)<f(x_2)$を満たしているとする．$x=g(y)$を$0 \leqq y \leqq 1$で定義された$f$の逆関数とする．
\[ 5 \int_0^1 f(x) \, dx=2 \int_0^1 g(y) \, dy \]
が成立しているとき$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$の値を求めよ．
公立 広島市立大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$
(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$
公立 横浜市立大学 2016年 第3問関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．
国立 金沢大学 2015年 第3問関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第2問$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．
(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．
(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．
私立 金沢工業大学 2015年 第1問関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．