関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを \[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \] と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1) 関数$f(x)$を \[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \] とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2) 積分 \[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \] を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で \[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \] となる関数を求めよ．
(3) 積分の等式 \[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \] を示せ．
(4) 積分 \[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \] を求めよ．