「証明」について
タグ「証明」の検索結果
（46ページ目：全1924問中451問～460問を表示）
国立 山口大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
国立 京都教育大学 2015年 第3問正の実数$x,\ y,\ z$に関する，次の$3$つの条件を考える．
$p:2^x=3^y=6^z$
$q:2^x=3^y$
$\displaystyle r:\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
(1)$p$は$r$の十分条件であることを証明せよ．
(2)$p$は$r$の必要条件ではないことを証明せよ．
(3)$p$は「$q$かつ$r$」の必要条件であることを証明せよ．
$p:2^x=3^y=6^z$
$q:2^x=3^y$
$\displaystyle r:\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$
(1)$p$は$r$の十分条件であることを証明せよ．
(2)$p$は$r$の必要条件ではないことを証明せよ．
(3)$p$は「$q$かつ$r$」の必要条件であることを証明せよ．
国立 京都教育大学 2015年 第4問次の$(1),\ (2)$を証明せよ．
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
(1)$A>0,\ B \geqq 0$であるとき，$A>B$と$A^2>B^2$は同値である．
(2)$|a|<1$かつ$|b|<1$ならば，
\[ 1+ab \neq 0 \;\text{かつ}\; |\displaystyle\frac{a+b|{1+ab}}<1 \]
国立 京都教育大学 2015年 第6問区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．
(1)図形$R_4$を図示せよ．
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．
(1)図形$R_4$を図示せよ．
(2)図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第3問$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第3問$b_1=1,\ b_2=4,\ b_{n+2}=5b_{n+1}-6b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{b_n\}$がある．数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n+\frac{1}{n(n+1)}+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとき，次の問いに答えよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(1)$p_n=b_{n+1}-2b_n$とおく．数列$\{p_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(2)$q_n=b_{n+1}-3b_n$とおく．数列$\{q_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問$n$は任意の自然数，また，$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について$a_k$は$0 \leqq a_k \leqq k$を満たす整数である．このとき，以下の問に答えよ．
(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
\[ 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots +n \cdot n!=(n+1)!-1 \]
(2)$2015=a_1 \cdot 1!+a_2 \cdot 2!+\cdots +a_n \cdot n!$が成り立っているとき，$n$を求めよ．ただし，$a_n \neq 0$とする．
(3)$(2)$の等式を成立させる$a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$を求め，答のみ記入せよ．
(1)数学的帰納法により，次の等式を示せ．
\[ 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots +n \cdot n!=(n+1)!-1 \]
(2)$2015=a_1 \cdot 1!+a_2 \cdot 2!+\cdots +a_n \cdot n!$が成り立っているとき，$n$を求めよ．ただし，$a_n \neq 0$とする．
(3)$(2)$の等式を成立させる$a_1,\ a_2,\ \cdots, a_n$を求め，答のみ記入せよ．
私立 早稲田大学 2015年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．
私立 早稲田大学 2015年 第2問整数$x,\ y$が$x^2-2y^2=1$をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)整数$a,\ b,\ u,\ v$が$(a+b \sqrt{2})(x+y \sqrt{2})=u+v \sqrt{2}$をみたすとき，$u,\ v$を$a,\ b,\ x,\ y$で表せ．さらに$a^2-2b^2=1$のときの$u^2-2v^2$の値を求めよ．ともに答のみでよい．
(2)$1<x+y \sqrt{2} \leqq 3+2 \sqrt{2}$のとき，$x=3$，$y=2$となることを示せ．
(3)自然数$n$に対して，$(3+2 \sqrt{2})^{n-1}<x+y \sqrt{2} \leqq (3+2 \sqrt{2})^n$のとき，$x+y \sqrt{2}=(3+2 \sqrt{2})^n$を示せ．
(1)整数$a,\ b,\ u,\ v$が$(a+b \sqrt{2})(x+y \sqrt{2})=u+v \sqrt{2}$をみたすとき，$u,\ v$を$a,\ b,\ x,\ y$で表せ．さらに$a^2-2b^2=1$のときの$u^2-2v^2$の値を求めよ．ともに答のみでよい．
(2)$1<x+y \sqrt{2} \leqq 3+2 \sqrt{2}$のとき，$x=3$，$y=2$となることを示せ．
(3)自然数$n$に対して，$(3+2 \sqrt{2})^{n-1}<x+y \sqrt{2} \leqq (3+2 \sqrt{2})^n$のとき，$x+y \sqrt{2}=(3+2 \sqrt{2})^n$を示せ．