京都教育大学
2015年 教育学部 第6問
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![区間[0,1]をn等分して得た分点を0=x_0＜x_1＜・・・＜x_n=1とならべる．すなわち，x_k=k/n(k=0,1,・・・,n)とおく．f(x)=x^2+1(0≦x≦1)に対して，4点(x_{k-1},0)，(x_k,0)，(x_k,f(x_k))，(x_{k-1},f(x_{k-1}))を頂点とする台形S_k(k=1,2,・・・,n)のk=1からk=nまでの集まりをR_nとおく．(1)図形R_4を図示せよ．(2)図形R_nの面積をr_nとするとき，\lim_{n→∞}r_n=4/3であることを証明せよ．](./thumb/473/1279/2015_6.png)
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区間$[0,\ 1]$を$n$等分して得た分点を
\[ 0=x_0<x_1<\cdots <x_n=1 \]
とならべる．すなわち，
\[ x_k=\frac{k}{n} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n) \]
とおく．$f(x)=x^2+1 \ \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，$4$点$(x_{k-1},\ 0)$，$(x_k,\ 0)$，$(x_k,\ f(x_k))$，$(x_{k-1},\ f(x_{k-1}))$を頂点とする台形$S_k \ \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$の$k=1$から$k=n$までの集まりを$R_n$とおく．
(1) 図形$R_4$を図示せよ．
(2) 図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
(1) 図形$R_4$を図示せよ．
(2) 図形$R_n$の面積を$r_n$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}r_n=\frac{4}{3}$であることを証明せよ．
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