$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$，$0 \leqq b<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．

関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．

$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$，$y>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{x+y}{2} \geqq \sqrt{xy}$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

(2)$a>0$，$b>0$，$c>0$で，$a \neq 1$，$c \neq 1$のとき，等式$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$を証明せよ．

(3)$p>1$，$q>1$のとき，不等式$\log_p q+\log_q p \geqq 2$を証明せよ．また，等号が成り立つときを調べよ．

自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．

$n$を自然数とする．関数$f(x)=e^x \sin x$の$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式がなりたつことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
\[ f^{(n)}(x)=2^{\frac{n}{2}} e^x \sin \left( x+\frac{n\pi}{4} \right) \]

図$1$から図$3$は，辺の長さが$1$の正方形が並んだ図形である．これらの図において，$1$つ，またはいくつかの正方形で構成される四角形を考える．例えば，図$1$において灰色で示した図形は，点$\mathrm{A}$を$1$つの頂点とする幅が$3$，高さが$2$の四角形である．次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)図$1$の中に点$\mathrm{A}$を$1$つの頂点とする四角形はいくつあるか．
(2)図$2$の中に四角形はいくつあるか．
(3)図$3$の中に四角形はいくつあるか．

$k$は正の整数とする．定積分$\displaystyle I_k=\int_k^{k+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n I_k$とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．

(2)不等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+1}}<I_k<\frac{1}{\sqrt{k}}$が成り立つことを示せ．

(3)$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$の整数部分を求めよ．

$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき，以下の各問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ．

(4)式
\[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \]
が成り立つことを証明せよ．

(5)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ．

複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．

(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．