和歌山県立医科大学
2016年 医学部 第3問
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自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) 自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3) 自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4) $a_{12}$を素因数分解せよ．
(1) 自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) 自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3) 自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4) $a_{12}$を素因数分解せよ．
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