首都大学東京
2016年 理系 第1問
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$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$，$0 \leqq b<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1) $0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2) $\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
(1) $0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2) $\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
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