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国立 大阪大学 2016年 第5問円上の$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$は反時計回りにこの順に並び，円周を$5$等分している．$5$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}$の大きさを$x$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の大きさを$y$とするとき，$x^2=y(y-x)$がなりたつことを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{R}_1$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_1$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_2$とする．$\mathrm{R}_2$の一辺の長さを$x$を用いて表せ．
(4)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$\mathrm{R}_n$の対角線の交点として得られる$\mathrm{R}_n$の内部の$5$つの点を頂点とする正五角形を$\mathrm{R}_{n+1}$とし，$\mathrm{R}_n$の面積を$S_n$とする．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{S_1} \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}S_k \]
を求めよ．
（図は省略）
国立 徳島大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，次のように$6$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{R}^\prime$を定める．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする．同様に，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$，外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$，$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする．$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき，$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ．
国立 徳島大学 2016年 第3問整式$P(x)$が条件「$x$が整数ならば，$P(x)$の値は整数となる」を満たすとき，$P(x)$を整数値整式という．また，$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$f_1(x)=x$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x(x-1)$，$\displaystyle f_3(x)=\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$とする．
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．
(1)$P(x)=ax^2+bx+c$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{A})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{A})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)$という形に表せる．
(2)$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$が整数値整式であるための必要十分条件は，次の条件$(\mathrm{B})$であることを示せ．
\mon[$(\mathrm{B})$] $P(x)$は整数$m_0,\ m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて$m_0+m_1f_1(x)+m_2f_2(x)+m_3f_3(x)$という形に表せる．
国立 徳島大学 2016年 第3問$\triangle \mathrm{OAB}$の頂点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ b)$とする．辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$0<p<1$，$0<q<1$，$0<r<1$とする．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S_1$，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S_2$として，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$p:q:r$を求めよ．
(2)$3$点$(0,\ 0)$，$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$を頂点とする三角形の面積は，$\displaystyle \frac{1}{2} |x_1y_2-x_2y_1|$で表されることを示せ．
(3)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の最小値を求めよ．
国立 高知大学 2016年 第2問実数の定数$k$に対して，$f(x)=|5 \sin (kx)-6 \cos (x^2)+7|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
(1)すべての$x$に対して，$f(x) \leqq 18$であることを示せ．
(2)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値の例を一つあげよ．
(3)$\displaystyle k=\frac{\sqrt{\pi}}{4}$のとき，$f(x)=18$となる$x$の値は存在しないことを示せ．
(4)$f(x)=18$となる$x$が存在するような$k$の値をすべて求めよ．
国立 高知大学 2016年 第4問自然数$n$と多項式$f(x)$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3 \neq 0$を示せ．
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$，$a_2=0$，$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ．
(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3 \neq 0$を示せ．
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$，$a_2=0$，$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ．
国立 熊本大学 2016年 第2問自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$，$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:4$とする．辺$\mathrm{BC}$の点$\mathrm{C}$側の延長上に，$\mathrm{CA}=\mathrm{CD}$となる点$\mathrm{D}$をとる．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AD}$に下した垂線を$\mathrm{BF}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
(1)$\mathrm{EF}=\mathrm{EC}$を示せ．
(2)面積比$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{CEF}$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．