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国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x (0<x \leqq 2)$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$S(x)$を求めよ．
(2)$xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(i) $D$の面積を求めよ．
(ii) 直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(1)$2$次関数$y=x^2-2ax+a+2$の最小値が負であるような定数$a$の範囲を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがサッカーの試合を$7$回行う．どの試合でも，$\mathrm{A}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\mathrm{B}$チームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$，引き分けとなる確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$であるとして，$\mathrm{A}$チームの試合結果が$3$勝$2$敗$2$引き分けとなる確率を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$において，
$\mathrm{BC}=30$，$\mathrm{CA}=26$，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BAC}=\frac{5}{13}$，
$\mathrm{OA}=18$，$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OAC}={90}^\circ$
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さおよび四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2016年 第4問$\triangle \mathrm{ABC}$に対し$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}$として
\[ \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b|} \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c|} \overrightarrow{a} \]
によってベクトル$\overrightarrow{p}$を定めるとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$は$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}$かつ$|\overrightarrow{p|}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
\[ \overrightarrow{p}=|\overrightarrow{a|} \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b|} \overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c|} \overrightarrow{a} \]
によってベクトル$\overrightarrow{p}$を定めるとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$は$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるための必要十分条件であることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}$かつ$|\overrightarrow{p|}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第2問四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第3問一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を満たすように点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$をとる．$0<x<1$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，直線$\mathrm{PC}$と直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{QD}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき，$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，$x,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{RE}$と直線$\mathrm{OA}$との交点が$\mathrm{P}$と一致するとき，$x$の値を求めよ．
(4)$x$を$(3)$で求めた値とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$のとき，$\mathrm{PQ}^2$の値を求めよ．
私立 日本医科大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ 1)$がある．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である．
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である．同時に$2$本のくじを引いたとき，$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった．このとき，$n=[イ]$である．
(3)$\mathrm{AB}=20$，$\mathrm{BC}=24$，$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=[ウ]$である．
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について，$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$a=[エ]$，$b=[オ]$である．ただし，$a$と$b$は実数とする．
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると，$x=[カ]$，$y=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である．このとき，直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である．
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で，関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである．