$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=2$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$とする$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{E}$をとり，$\mathrm{E}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{EF}$を下ろし，$\mathrm{EF}=\mathrm{AF}=x \ \ (0<x \leqq 2)$とする．また，線分$\mathrm{AF}$の$\mathrm{F}$を越える延長上に$\mathrm{AG}=2 \mathrm{AF}$となる点$\mathrm{G}$をとる．$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$2$辺とする正方形$\mathrm{EFGH}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の共通部分の面積を$S(x)$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $S(x)$を求めよ．
(2) $xy$平面において，連立不等式$0 \leqq y \leqq S(x)$，$\displaystyle x \geqq \frac{1}{2}$の表す領域$D$を考える．点$(1,\ 1)$を通り，$D$の面積を二等分する直線を$\ell$とする．
(ⅰ) $D$の面積を求めよ．
(ⅱ) 直線$\ell$の方程式を求めよ．