「規則」について
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国立 京都大学 2016年 第5問$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(2,\ 0)$，$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている．動点$\mathrm{X}$は，これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する．
\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．
例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．
（図は省略）
\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．
例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．
（図は省略）
国立 九州大学 2016年 第3問座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$．
(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第4問サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
国立 島根大学 2016年 第1問$n$を自然数とする．下図のように，$3$本の平行な道路$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$があり，$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と，$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ，交互に配置されているとする．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．
\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．
\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第4問複素数$z$は，以下に述べる規則$(ⅰ),\ (ⅱ)$にしたがって，$1$秒ごとに値が変化していくものとする．ただし，$i$を虚数単位として，$\displaystyle \alpha=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}$とおき，$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$について，時刻$n$秒での$z$の値を$z_n$とおく．
(i) $z_0=1$とする．
(ii) $z$の値は，時刻$n+1$秒において，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する．
$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$，$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$z_{2m}=-1$となる確率を求めよ．
(2)$q_m$を，$p_m$を用いて表せ．
(3)$p_m$を求めよ．
(4)$z_n=1$となる確率を求めよ．
(i) $z_0=1$とする．
(ii) $z$の値は，時刻$n+1$秒において，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha z_n$に，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$z_{n+1}=\alpha^{-1}z_n$に変化する．
$m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，$z_{2m}=\alpha^2$となる確率を$p_m$，$z_{2m}=1$となる確率を$q_m$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)$z_{2m}=-1$となる確率を求めよ．
(2)$q_m$を，$p_m$を用いて表せ．
(3)$p_m$を求めよ．
(4)$z_n=1$となる確率を求めよ．
私立 明治大学 2016年 第4問以下のように群に分けられた規則的な数列がある．ただし，第$n$群には$n$個の項が入るものとする．つまり，第$1$項が第$1$群，第$2$項と第$3$項が第$2$群，その後に続く$3$つの項が第$3$群，などとなる．この数列について，各問に答えよ．
$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群
(1)第$20$項の値を求めよ．
(2)第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか．
(3)初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ．
(4)第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ．
(5)初項から第$30$群の最後の項までの中に，$5$より大きい項はいくつあるか．
(6)第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ．
$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群
(1)第$20$項の値を求めよ．
(2)第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか．
(3)初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ．
(4)第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ．
(5)初項から第$30$群の最後の項までの中に，$5$より大きい項はいくつあるか．
(6)第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ．
私立 東京薬科大学 2016年 第4問$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
\mon[$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する．
\mon[$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ヘ]}{[ホ]},\ P_2=\frac{[マミ]}{[ムメ]}$である．
(2)$P_n$と$P_{n+1}$の関係は
\[ P_{n+1}=\frac{[モ]}{[ヤ]} P_n+\frac{[ユ]}{[ヨ]} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle P_n=\frac{[ラ]}{[リ]} \left( 1-\frac{[ル]}{{[レ]}^n} \right) (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．
公立 会津大学 2016年 第2問袋の中に，赤玉，青玉，白玉，黒玉が$1$つずつ，全部で$4$つ入っている．この袋から玉を$1$つ取り出して，また袋に戻す試行を繰り返す．座標平面上を動く点$\mathrm{P}$がはじめ原点$\mathrm{O}$にあり，試行のたびに，次の規則に従って動くものとする．
\begin{itemize}
赤玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$2$だけ進む．
青玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$だけ進む．
白玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$2$だけ進む．
黒玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$だけ進む．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が$y$軸上にある確率を求めよ．
(3)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．
(4)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が不等式$6 \leqq x+y \leqq 8$の表す領域にある確率を求めよ．
\begin{itemize}
赤玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$2$だけ進む．
青玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$x$軸の正の向きに$1$だけ進む．
白玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$2$だけ進む．
黒玉が出たとき，$\mathrm{P}$は$y$軸の正の向きに$1$だけ進む．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)試行を$3$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が$y$軸上にある確率を求めよ．
(3)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{OP}=5$となる確率を求めよ．
(4)試行を$5$回繰り返した結果，$\mathrm{P}$が不等式$6 \leqq x+y \leqq 8$の表す領域にある確率を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第2問どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．