以下のように群に分けられた規則的な数列がある．ただし，第$n$群には$n$個の項が入るものとする．つまり，第$1$項が第$1$群，第$2$項と第$3$項が第$2$群，その後に続く$3$つの項が第$3$群，などとなる．この数列について，各問に答えよ．
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$\displaystyle \frac{2}{1 \cdot 2} \;\bigg|\; \frac{3}{1 \cdot 2}, \frac{3}{ 2 \cdot 3} \;\bigg|\; \frac{4}{1 \cdot 2}, \frac{4}{ 2 \cdot 3}, \frac{4}{3 \cdot 4} \;\bigg|\; \frac{5}{1 \cdot 2}, \frac{5}{ 2 \cdot 3}, \frac{5}{3 \cdot 4}, \frac{5}{4 \cdot 5} \;\bigg|\; \frac{6}{1 \cdot 2},\ \cdots$
第$1$群 \qquad\!\!\! 第$2$群 \qquad\qquad\quad\!\!\! 第$3$群 \qquad\qquad\qquad\qquad\ 第$4$群

(1) 第$20$項の値を求めよ．
(2) 第$5$項と同じ値の項は次に第何項に現れるか．
(3) 初項から第$n$群の最後の項までの項の総数を式で表せ．
(4) 第$n$群に含まれる$k$番目の項を式で表せ．
(5) 初項から第$30$群の最後の項までの中に，$5$より大きい項はいくつあるか． 第$n$群に含まれる$n$個の項の総和を式で表せ．