$2$つの動点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，一辺の長さが$1$の立方体の辺上を，毎秒$1$の速さで，次の規則にしたがって移動する．
\setlength{\leftskip}{16mm} [$\lbrack$規則$1 \rbrack$] 最初は同じ頂点にあり，同時に移動を開始する． [$\lbrack$規則$2 \rbrack$] どの頂点からも，$1$秒で移動可能な$3$つの頂点のいずれかに確率$\displaystyle \frac{1}{3}$で移動する．
自然数$n$について，移動を開始してから$n$秒後における$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$間の距離が$\sqrt{2}$となる確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1) $\displaystyle P_1=\frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}},\ P_2=\frac{\fbox{マミ}}{\fbox{ムメ}}$である．
(2) $P_n$と$P_{n+1}$の関係は \[ P_{n+1}=\frac{\fbox{モ}}{\fbox{ヤ}} P_n+\frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] である．
(3) $\displaystyle P_n=\frac{\fbox{ラ}}{\fbox{リ}} \left( 1-\frac{\fbox{ル}}{{\fbox{レ}}^n} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$である．