$y=e^{-\pi x} \sin (\pi x)$で定められた曲線を$C$とする．

(1)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で$C$の概形をかけ．ただし，凹凸を調べる必要はない．
(2)$n$を自然数とする．$C$の$n-1 \leqq x \leqq n$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)$(2)$の$S_n$について，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の値を求めよ．

自然数$m,\ n$が$m \geqq n$を満たすとする．$\mathrm{a}$という文字が$m$個，$\mathrm{b}$という文字が$n$個あり，それらの合計$m+n$個の文字を$1$列に並べるとき，下の問いに答えなさい．

(1)並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(2)$\mathrm{bb}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．
(3)$\mathrm{aab}$という文字列を含まない並べ方は全部で何通りあるかを求めなさい．

数列$\{a_n\}$が，
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．


(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．

(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．

$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．

$r$を$1<r<3$を満たす実数，$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする．また，次の関数$f(x)$を考える．
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．



以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．


\mon[$(2)$] 次の条件

$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$

が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ．
\mon[$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を
\[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．

(i) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．

$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}$，$g(x)=x$，$\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{2}$とおく．$x_0=1$とし，$2$枚の硬貨を繰り返して投げ，$n$回目の事象により$x_n$を次のように定める．
\[ x_n=\left\{ \begin{array}{lll}
f(x_{n-1}) & & (2 \text{枚とも表のとき}) \\
g(x_{n-1}) & & (\text{$1$枚が表，$1$枚が裏のとき}) \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
h(x_{n-1}) & & (\text{$2$枚とも裏のとき})
\end{array} \right. \]
また，$p_n,\ q_n,\ r_n$をそれぞれ$\displaystyle 0<x_n \leqq \frac{1}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{1}{3}<x_n \leqq \frac{2}{3}$である確率，$\displaystyle \frac{2}{3}<x_n \leqq 1$である確率とする．

(1)すべての自然数$n$に対して$0<x_n \leqq 1$を示せ．
(2)$p_1,\ q_1,\ r_1$を求めよ．
(3)$p_n,\ q_n,\ r_n$を$p_{n-1},\ q_{n-1},\ r_{n-1}$を用いて表せ．
(4)$p_n-r_n$を求めよ．
(5)$p_n$を求めよ．