浜松医科大学
2016年 医学部 第2問
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![rを1＜r＜3を満たす実数，kを|r-2|＜k＜1を満たす実数とする．また，次の関数f(x)を考える．f(x)=rx(1-x)以下の問いに答えよ．(1)f(x)=xを満たすxを求めよ．\setlength{skip}{-6mm}以下の問題では，(1)で求めたxのうちで正のものをx_rとする．\mon[(2)]次の条件|x-x_r|＜aを満たすすべてのxについて|f´(x)|＜kが成り立つような正の実数aが存在することを証明せよ．\mon[(3)](2)のaに対して，数列{x_n}を|x_1-x_r|＜a,x_{n+1}=f(x_n)(n=1,2,3,・・・)により定める．(i)すべての自然数nについて|x_n-x_r|＜aであることを証明せよ．(ii)\lim_{n→∞}x_n=x_rを証明せよ．](./thumb/397/1051/2016_2.png)
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$r$を$1<r<3$を満たす実数，$k$を$|r-2|<k<1$を満たす実数とする．また，次の関数$f(x)$を考える．
\[ f(x)=rx(1-x) \]
以下の問いに答えよ．
(1) $f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
\setlength{\leftskip}{-6mm}
以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．
[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ． [$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を \[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．
(ⅰ) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．
(1) $f(x)=x$を満たす$x$を求めよ．
\setlength{\leftskip}{-6mm}
以下の問題では，$(1)$で求めた$x$のうちで正のものを$x_r$とする．
[$(2)$] 次の条件
$|x-x_r|<a$を満たすすべての$x$について$|f^\prime(x)|<k$
が成り立つような正の実数$a$が存在することを証明せよ． [$(3)$] $(2)$の$a$に対して，数列$\{x_n\}$を \[ |x_1-x_r|<a,\quad x_{n+1}=f(x_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] により定める．
(ⅰ) すべての自然数$n$について$|x_n-x_r|<a$であることを証明せよ．
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=x_r$を証明せよ．
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