自然数$n$と多項式$f(x)$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3 \neq 0$を示せ．
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$，$a_2=0$，$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ．

自然数$a$に対して
\[ S(a)=\sum_{k=1}^a \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)和$S(a)$を求めよ．
(2)$S(a)$が整数となる自然数$a$を小さい順に並べた数列を
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots \]
とする．一般項$a_n$を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{a_n\}$について，$a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$4$で割った余りは$0$か$3$であることを示せ．
(4)$(2)$の数列$\{a_n\}$と自然数$N$に対して和$\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{a_n}$を求めよ．

関数$f(x)=\sin^{2n+2}x+4 \cos^{2n+2}x$（$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$，$n$は自然数）について以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$はいくらか．

(2)$f(x)$の最小値はいくらか．

$2$以上の自然数$n$と自然数$a$について，和
\[ 1 \cdot (1+a)+2 \cdot (2+a)+\cdots +(n-1) \cdot \{(n-1)+a\} \]
を$S$とおく．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$6$と$n$が互いに素であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(2)$n$を$6$で割った余りが$2$であるとき，すべての奇数$a$に対して，$S$は$n$で割り切れることを示せ．
(3)$n$を$6$で割った余りが$3$であるとき，すべての自然数$a$に対して，$S$を$n$で割った余りを，$n$を用いて表せ．ただし，求める余りは，$0$以上$n-1$以下の範囲で求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{BD}=3$のとき，辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)自然数$n$が$6$と互いに素であるとき，$n^2-1$が$6$で割り切れることを示せ．
(3)$xy$平面で次の不等式で表される領域を図示せよ．
\[ |x| \leqq y \leqq 1-|x| \]

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．

(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．

(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．

ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．

(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．

$0$でない実数$r$が$|r|<1$のとき，以下の問いに答えなさい．ただし，自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty} nr^n=0$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n(n-1)r^n=0$である．

(1)$\displaystyle R_n=\sum_{k=0}^n r^k$と$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n kr^{k-1}$を求めなさい．
(2)$\displaystyle T_n=\sum_{k=0}^n k(k-1)r^{k-2}$を求めなさい．
(3)$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty k^2r^k$を求めなさい．