「自然数」について
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国立 広島大学 2016年 第4問$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．
$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．
この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．
$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．
この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．
国立 広島大学 2016年 第5問数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
国立 広島大学 2016年 第4問$xy$平面上に原点を出発点として動く点$\mathrm{Q}$があり，次の試行を行う．
$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．
この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．
$1$枚の硬貨を投げ，表が出たら$\mathrm{Q}$は$x$軸の正の方向に$1$，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$動く．ただし，点$(3,\ 1)$に到達したら$\mathrm{Q}$は原点に戻る．
この試行を$n$回繰り返した後の$\mathrm{Q}$の座標を$(x_n,\ y_n)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$(x_4,\ y_4)=(0,\ 0)$となる確率を求めよ．
(2)$(x_8,\ y_8)=(5,\ 3)$となる確率を求めよ．
(3)$x_8+y_8 \leqq 4$となる確率を求めよ．
(4)$x_{4n}+y_{4n} \leqq 4k$となる確率を$n$と$k$で表せ．ここで$k$は$n$以下の自然数とする．
国立 山形大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
国立 山形大学 2016年 第3問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
国立 山形大学 2016年 第4問$n$を自然数とし，$t>0$とする．曲線$y=x^ne^{-nx}$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=2t$で囲まれた図形の面積を$S_n(t)$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
(1)関数$f(x)=xe^{-x}$の極値を求めよ．
(2)$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$S_1(t) (t>0)$の最大値を求めよ．
(4)$\displaystyle \frac{d}{dt}S_n(t)$を求めよ．
(5)関数$S_n(t) (t>0)$が最大値をとるときの$t$の値$t_n$と極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}t_n$を求めよ．
国立 広島大学 2016年 第5問$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2)$c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が
$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4)次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった．
\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}
新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．
(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2)$c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が
$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4)次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった．
\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}
新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．
国立 九州大学 2016年 第3問袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．
\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．
\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．
最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第2問$n$を自然数とし，放物線$y=-x^2+nx$を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
(1)放物線$C$上の点$(1,\ n-1)$における接線の傾きを$a$とする．$0 \leqq a \leqq 3$を満たす$n$をすべて求めよ．
(2)関数$y=-x^2+nx$の最大値を$M$とする．$1 \leqq M \leqq 5$を満たす$n$をすべて求めよ．
(3)放物線$C$と直線$y=-x$で囲まれた図形の面積を$S$とする．$S \leqq 36$を満たす$n$をすべて求めよ．
(4)$n \geqq 7$とする．放物線$C$の$x \geqq 6$の部分と$x$軸および直線$x=6$で囲まれた図形の面積を$T$とする．$T \leqq 72$を満たす$n$をすべて求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．
(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]