「自然数」について
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公立 大阪府立大学 2016年 第1問$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が袋に入っている．この袋から$5$個の玉を同時に取り出す．取り出した$5$個の玉に書かれた数を小さい方から順に$X_1$，$X_2$，$X_3$，$X_4$，$X_5$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X_3=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_5-X_1=7$となる確率を求めよ．
(3)$X_1$が$X_3$の約数となり，かつ$X_3$が$X_5$の約数となる確率を求めよ．
(1)$X_3=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_5-X_1=7$となる確率を求めよ．
(3)$X_1$が$X_3$の約数となり，かつ$X_3$が$X_5$の約数となる確率を求めよ．
公立 大阪府立大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2)$k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．
(1)次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \cos (\alpha+\beta) \sin \alpha-\cos \alpha \sin (\alpha-\beta)=\cos 2\alpha \sin \beta \]
(2)$k,\ n$を自然数とし，$\theta$は$\sin \theta \neq 0$を満たすとする．$(1)$の等式で$\alpha=k \theta$，$\beta=\theta$とおくことにより次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \cos 2k \theta=\frac{\cos (n+1) \theta \sin n \theta}{\sin \theta} \]
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^{100} \cos^2 \frac{k \pi}{100}$の値を求めよ．
公立 大阪府立大学 2016年 第1問$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が袋に入っている．この袋から$5$個の玉を同時に取り出す．取り出した$5$個の玉に書かれた数を小さい方から順に$X_1$，$X_2$，$X_3$，$X_4$，$X_5$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$X_3=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_5-X_1=7$となる確率を求めよ．
(3)$X_1$が$X_3$の約数となり，かつ$X_3$が$X_5$の約数となる確率を求めよ．
(1)$X_3=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_5-X_1=7$となる確率を求めよ．
(3)$X_1$が$X_3$の約数となり，かつ$X_3$が$X_5$の約数となる確率を求めよ．
公立 首都大学東京 2016年 第2問$n$を自然数とし，
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく．ただし，$\log x$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ h(x)=x-n \log x \]
とおく．ただし，$\log x$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．
(1)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h^\prime(x) \geqq \frac{1}{2}$が成り立つことを示しなさい．ただし，$h^\prime(x)$は$h(x)$の導関数とする．
(2)$x \geqq 2n$のとき，$\displaystyle h(x)-h(2n) \geqq \frac{1}{2}(x-2n)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$x \geqq 2n$かつ$x \geqq 2n-2h(2n)$のとき，$h(x) \geqq 0$が成り立つことを示しなさい．
(4)$(3)$を利用して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}=0$が成り立つことを示しなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
公立 首都大学東京 2016年 第3問$p,\ q,\ r$を整数とし，数列
\[ a_n=pn^3+qn^2+rn \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．以下の問いに答えなさい．
(1)$p+r=q=0$のとき，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．
(2)$q$が$3$の倍数でないとき，$a_2-2a_1$は$6$の倍数ではないことを示しなさい．
(3)$a_1$と$a_2$がともに$6$の倍数であれば，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．
\[ a_n=pn^3+qn^2+rn \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．以下の問いに答えなさい．
(1)$p+r=q=0$のとき，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．
(2)$q$が$3$の倍数でないとき，$a_2-2a_1$は$6$の倍数ではないことを示しなさい．
(3)$a_1$と$a_2$がともに$6$の倍数であれば，すべての自然数$n$に対し$a_n$は$6$の倍数であることを示しなさい．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第1問箱の中に$1$から$10$までの自然数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが入っている．この箱の中からカードを同時に$3$枚取り出し，取り出されたカードの数字を小さいものから順に$X,\ Y,\ Z$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$X$が$4$以下である確率を求めよ．
(2)$Y$が$4$以下である確率を求めよ．
(1)$X$が$4$以下である確率を求めよ．
(2)$Y$が$4$以下である確率を求めよ．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第5問$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
(1)三角関数の加法定理を用いて次の等式を示せ．
\[ 2 \cos \alpha \sin \beta=\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta) \]
(2)数学的帰納法によって，次の等式を証明せよ．
\[ 2 \sin \frac{\theta}{2} \sum_{l=1}^n \cos l \theta=\sin \left( n+\frac{1}{2} \right) \theta-\sin \frac{\theta}{2} \]
(3)$m$を整数とする．$\theta \neq 2m\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，等号が成立する条件は調べなくてよい．
\[ |\sum_{l=1|^n \cos l \theta} \leqq \frac{1}{2} \left( 1+{|\sin \displaystyle\frac{\theta|{2}}}^{-1} \right) \]
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$5$以下の異なる$3$個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)自然数$m,\ n$を$m<n$のようにとる．$m$個の自然数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_m$を
\[ 1 \leqq a_1<a_2< \cdots <a_m \leqq n \]
のようにとり，和$a_1+a_2+\cdots+a_m$を考える．この形で表される自然数は何個あるか．
(1)$5$以下の異なる$3$個の自然数の総和として表される自然数は何個あるか．
(2)自然数$m,\ n$を$m<n$のようにとる．$m$個の自然数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_m$を
\[ 1 \leqq a_1<a_2< \cdots <a_m \leqq n \]
のようにとり，和$a_1+a_2+\cdots+a_m$を考える．この形で表される自然数は何個あるか．
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第3問自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
公立 会津大学 2016年 第4問曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．