タグ「置換」の検索結果

1ページ目:全14問中1問~10問を表示)
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2016年 第5問
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
大阪工業大学 私立 大阪工業大学 2016年 第4問
関数$f(x)=x+\sqrt{4-x^2} (-2 \leqq x \leqq 2)$について,次の問いに答えよ.

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)$f^\prime(-\sqrt{2})$の値を求めよ.また,$f^\prime(x)=0$を解け.
(3)$f(x)$の増減を調べ,$y=f(x)$のグラフをかけ.ただし,凹凸は調べなくてもよい.
(4)$4-x^2=t$とおき,置換積分法を用いて不定積分$\displaystyle \int x \sqrt{4-x^2} \, dx$を求めよ.
(5)曲線$y=f(x)$,$x$軸および直線$x=2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ.
獨協医科大学 私立 獨協医科大学 2016年 第5問
$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq 1$に対応する部分の長さを$L$とする.$L$の値を次のようにして求めよう.$L$は定積分
\[ L=\int_0^1 \sqrt{1+[ア]x^2} \, dx \]
で定まる.この定積分を計算するために$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{4}$として,置換積分を行う.このとき
\[ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t+e^{-t}}{4} \]
であり
\[ \sqrt{1+[ア]x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{[イ]} \]
である.

また,$\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}=1$となる$t$の値を$\alpha$とすると,$x$が$0 \to 1$と変化するとき,$t$は$[ウ] \to \alpha$と変化するので,$L$を定める定積分は
\[ L=\frac{1}{[エ]} \int_{\mkakko{ウ}}^\alpha (e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}} \, dt \]
となる.ここで$X=e^\alpha$とおくと,$X$は$2$次方程式
\[ X^2-[カ]X-[キ]=0 \]
の解である.$X>0$なので
\[ X=[ク]+\sqrt{[ケ]} \]
である.これを用いて$\alpha$の値を定め,$L$の値を計算すると
\[ L=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}+\frac{1}{[シ]} \log \left( [ス]+\sqrt{[セ]} \right) \]
である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ.ただし,空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす.

(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である.
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし,曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする.直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする.関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので,直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである.その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする.点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと,
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる.また,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする.点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる.この等式の右辺を$f(t)$とおく.
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え,その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると,$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる.ここで,$p=f(t)$とおいて置換積分すれば,
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ.$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より,$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である.
静岡大学 国立 静岡大学 2014年 第1問
$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 x}{\cos x+\sin x} \, dx$,$\displaystyle J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\cos x+\sin x} \, dx$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$とおいて置換積分法を用いることで,$I=J$を示せ.
(2)$I+J$の値を求めよ.
(3)$I$と$J$の値を求めよ.
大同大学 私立 大同大学 2013年 第5問
$\displaystyle f(x)=\frac{x \log \left( x^2+\displaystyle\frac{3}{4} \right)}{x^2+\displaystyle\frac{3}{4}}$とする.

(1)$f(x)=0$をみたす$x$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle t=\log \left( x^2+\displaystyle\frac{3}{4} \right)$を微分せよ.
(3)$(2)$を用いて置換積分することにより,不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和を求めよ.
茨城大学 国立 茨城大学 2012年 第2問
すべての実数$t$に対して関数$f(t),\ g(t)$を$f(t)=e^t-e^{-t},\ g(t)=e^t+e^{-t}$と定義する.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の各問に答えよ.

(1)すべての$t$に対して$g(t) \geqq 2$であることを示せ.
(2)$f(t)$は単調増加であることを示せ.
(3)$x=f(t),\ s=e^t$とするとき,$s$を$x$を用いて表せ.
(4)$x=f(t)$の逆関数$t=f^{-1}(x)$を求めよ.
(5)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx$を$x=f(t)$と置換積分して求めよ.
(6)座標平面上で$t$を媒介変数とする曲線$x=f(t),\ y=g(t)$を考える.この曲線を,媒介変数$t$を消去して$x,\ y$に関する方程式で表せ.
大同大学 私立 大同大学 2012年 第5問
$\displaystyle f(x)=\sin 2x \log (2 \sin x) \left( \frac{\pi}{12} \leqq x \leqq \frac{3}{4} \pi \right)$とする.

(1)不定積分$\displaystyle \int t \log t \, dt$を求めよ.
(2)$2 \sin x=t$とおいて置換積分することにより,不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx$を求めよ.
(3)$f(x) \geqq 0$をみたす$x$の範囲を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2012年 第3問
曲線$C_1:y^2=4px$と$C_2:x^2-y^2=-q$(ただし,$p>0$,$q>0$)の二つの曲線が接するとき,次の問いに答えよ.

(1)$q$を$p$を用いて表せ.また接点の座標を$p$を用いて表せ.
(2)$\sqrt{x^2+q}+x=t$と置いたとき$x$を$t$で表せ.また不定積分$\displaystyle I=\int \sqrt{x^2+q} \, dx$を$x$から$t$への置換積分により,$t$の関数として求めよ.
(3)曲線$C_1$,$C_2$と$y$軸で囲まれた部分の面積を$p$で表せ.
佐賀大学 国立 佐賀大学 2011年 第3問
関数
\[ f(t) = \int_1^t \frac{\log x}{x+t} \, dx \quad (t>0) \]
を考える.ただし,対数は自然対数とする.

(1)この定積分を$x=ty$によって置換することにより,
\[ f(t)=\log t \int_{t^{-1}}^1 \frac{1}{y+1} \, dy+\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy \]
を示せ.
(2)$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{t^{-1}}^1 \frac{\log y}{y+1} \, dy=-\frac{\log t}{t(t+1)}$を示せ.
(3)導関数$f^{\,\prime}(t)$を求めよ.
(4)関数$f(t)$の極値を求めよ.
スポンサーリンク

「置換」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。