$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq 1$に対応する部分の長さを$L$とする．$L$の値を次のようにして求めよう．$L$は定積分 \[ L=\int_0^1 \sqrt{1+\fbox{ア}x^2} \, dx \] で定まる．この定積分を計算するために$\displaystyle x=\frac{e^t-e^{-t}}{4}$として，置換積分を行う．このとき \[ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t+e^{-t}}{4} \] であり \[ \sqrt{1+\fbox{ア}x^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{\fbox{イ}} \] である．
また，$\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{4}=1$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$x$が$0 \to 1$と変化するとき，$t$は$\fbox{ウ} \to \alpha$と変化するので，$L$を定める定積分は \[ L=\frac{1}{\fbox{エ}} \int_{\mkakko{ウ}}^\alpha (e^t+e^{-t})^{\mkakko{オ}} \, dt \] となる．ここで$X=e^\alpha$とおくと，$X$は$2$次方程式 \[ X^2-\fbox{カ}X-\fbox{キ}=0 \] の解である．$X>0$なので \[ X=\fbox{ク}+\sqrt{\fbox{ケ}} \] である．これを用いて$\alpha$の値を定め，$L$の値を計算すると \[ L=\frac{\sqrt{\fbox{コ}}}{\fbox{サ}}+\frac{1}{\fbox{シ}} \log \left( \fbox{ス}+\sqrt{\fbox{セ}} \right) \] である．