「絶対値」について
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私立 大阪薬科大学 2016年 第2問次の問いに答えなさい．
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．
(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．
私立 明治大学 2016年 第3問$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．
私立 獨協医科大学 2016年 第3問三角形$\mathrm{ABC}$について，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{CA}=8$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．
また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である．
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である．
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[アイ] \]
である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[ウ]}{[エオ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[カ]}{[キク]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．
また，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{I}$，外接円の中心を$\mathrm{O}$とすると
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AI}}=\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ス]}{[セソ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[タチ]}{[ツテ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$
である．
したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OI|}}^2=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の周上を動く点$\mathrm{P}$と内接円の周上を動く点$\mathrm{Q}$があるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値は
\[ \frac{[ニヌ]+\sqrt{[ネ]}}{\sqrt{[ノ]}} \]
である．
私立 大阪歯科大学 2016年 第3問平面上に異なる$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$をみたす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)$(1)$の$\mathrm{P}$のうち，さらに，$\displaystyle \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2 \leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \leqq \frac{3}{2} |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2$をみたす$\mathrm{P}$の軌跡の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0$をみたす点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(2)$(1)$の$\mathrm{P}$のうち，さらに，$\displaystyle \left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2} \right) |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2 \leqq \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \leqq \frac{3}{2} |\overrightarrow{\mathrm{AO|}}^2$をみたす$\mathrm{P}$の軌跡の長さを求めよ．
私立 龍谷大学 2016年 第3問平面上の$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA|}}=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=3$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{3}{2}$を満たす．また，点$\mathrm{C}$は$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=k (\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})$，$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=\frac{15}{2}$を満たす．ただし，$k>0$である．
(1)$k$を求めなさい．
(2)直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たしている．$|\overrightarrow{\mathrm{OQ|}}$を求めなさい．
(1)$k$を求めなさい．
(2)直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$が$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たしている．$|\overrightarrow{\mathrm{OQ|}}$を求めなさい．
私立 金沢工業大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．
私立 東邦大学 2016年 第15問$2$つの変量をもつ$100$個のデータ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$，$\cdots$，$(x_{100},\ y_{100})$が，
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える．$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき，点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である．また，$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である．
\[ \sum_{i=1}^{100} {x_i}^2=500,\quad \sum_{i=1}^{100} {y_i}^2=900,\quad \sum_{i=1}^{100} x_iy_i=500 \]
を満たす場合を考える．$\displaystyle X=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} x_i$および$\displaystyle Y=\frac{1}{100} \sum_{i=1}^{100} y_i$とするとき，点$(X,\ Y)$の存在範囲は不等式$\displaystyle \frac{(Y-X)^2}{[シ]}+\frac{X^2}{[ス]} \leqq 1$の表す領域である．また，$|X+Y|$のとり得る値の範囲は$0 \leqq |X+Y| \leqq [セ] \sqrt{[ソ]}$である．
私立 東京女子大学 2016年 第4問曲線$\displaystyle y=|x^2-\displaystyle\frac{7|{2}x}+\frac{3}{2}x$を$C$とするとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線$C$の概形を$xy$平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の$x=2$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の概形を$xy$平面上に図示せよ．
(2)曲線$C$上の$x=2$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 東京医科大学 2016年 第3問$a$を実数の定数とし，関数
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．
\[ f(x)=|2x^3-x^2-ax-36| \]
を考える．関数$f(x)$は$x=p$で微分可能で，かつ$f(p)=0$であるとする．このとき
\[ p=[アイ],\quad a=[ウエ] \]
であり，かつ関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[オ]}{[カ]}$では微分可能でない．