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国立 金沢大学 2016年 第1問座標空間内に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 6,\ 0)$をとり，さらに$1<a<3$を満たす定数$a$に対して点$\mathrm{P}(t,\ ta,\ ta)$をとる．ただし，$t$は$t>0$の範囲を動くものとする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め，そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ．
以下，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．
\mon[$(3)$] 点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}$を求めよ．
\mon[$(4)$] 四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$から$xy$平面に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{AB}$上にあるときの$t$の値を求め，そのときの点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ．
以下，点$\mathrm{H}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．
\mon[$(3)$] 点$\mathrm{M}$を線分$\mathrm{AB}$の中点とする．$\mathrm{AH}:\mathrm{HM}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HM}}$を求めよ．
\mon[$(4)$] 四面体$\mathrm{OPMH}$の体積が$2$となるような$a$の値を求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
(1)$\displaystyle f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+1}$とする．$x>0$の範囲で$f(x)$が最小になる$x$の値と，そのときの$f(x)$の値を求めよ．
(2)$a>0$とする．曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と$2$つの直線$\ell_1:y=2e^ax$，$\ell_2:y=(a^2+3a+1)x$を考える．$C$と$\ell_1$と$\ell_2$で囲まれる部分を$D$とする．
\mon[（ア）] $C$と$\ell_1$の交点，および，$C$と$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
\mon[（イ）] $(1)$を用いて$2e^a>a^2+3a+1$であることを示せ．ただし，$e=2.7182 \cdots$であることは用いてよい．
\mon[（ウ）] $D$の面積を$a$を用いて表せ．
\mon[（エ）] $D$の面積を最小にする$a$の値と，そのときの$D$の面積を求めよ．
国立 東北大学 2016年 第2問放物線$\displaystyle C:y=-\frac{1}{2}x^2$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
(1)関数$y=-2 |x|+k$のグラフが放物線$C$と共有点をもつような実数$k$の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$を実数とする．関数$y=-2 |x-a|+b$のグラフが放物線$C$と共有点をちょうど$4$個もつような点$(a,\ b)$全体のなす領域$D$を$xy$平面に図示せよ．
(3)$(2)$で求めた領域$D$の面積を求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第3問$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，$x,\ y$が$xy^2=a^3$を満たすとする．$x>0$，$y>0$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$X=\log_a x$，$Y=\log_a y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(1)$X=\log_a x$，$Y=\log_a y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．
国立 愛知教育大学 2016年 第8問関数
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$y$の導関数を求めよ．
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい．
\[ y=x^x(1-x)^{1-x} \quad (0<x<1) \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$y$の導関数を求めよ．
(2)$y$のとり得る値の範囲を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{t \to +0}t^t=1$であることを証明なしに用いてよい．
国立 滋賀大学 2016年 第1問$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
国立 横浜国立大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第3問$a,\ b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
\[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を$H$とする．正の実数$r,\ s$に対して，円$C:(x-s)^2+y^2=r^2$を考える．
(1)$C$の中心が$H$の焦点の一つであるとき，すなわち$s=\sqrt{a^2+b^2}$のとき，$C$と$H$は$x>0$において高々$2$点しか共有点を持たないことを示せ．
(2)$C$と$H$が$x>0$において$4$点の共有点を持つような$(r,\ s)$の範囲を，$rs$平面上に図示せよ．
(3)$C$と$H$が$x>0$において$2$点で接するような$(r,\ s)$を考えるとき，極限$\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{s}{r}$を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)実数$a$に対して
\[ f(x)=2x^3-9ax^2+12a^2x \]
とおく．定義域を$\{x \;|\; x \leqq 1 \text{または} x \geqq 4 \}$とする関数$y=f(x)$が逆関数を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)$b$を実数とし，$x \geqq 0$における関数$g(x)$を
\[ g(x)=b \sqrt{\sqrt{8x+1}-1} \]
と定める．$2$つの曲線$y=e^x$と$y=g(x)$はただ$1$点の共有点を持つとする．
(i) $b$を求めよ．
(ii) $2$つの曲線$y=e^x,\ y=g(x)$と$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第1問$xy$平面上に点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，点$\mathrm{B}(0,\ -\sqrt{2})$がある．点$\mathrm{P}$は
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．
(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．
(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．
$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．
\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．
\[ \mathrm{PB}=\mathrm{PA}+2 \]
を満たすように$xy$平面上を動き，軌跡$C$をえがく．以下の問いに答えよ．
(1)軌跡$C$の方程式を求め，点$\mathrm{P}$の$y$座標のとりうる範囲を示せ．
(2)軌跡$C$の方程式について，導関数$\displaystyle \frac{dy}{dx}$を求めよ．
$a$を実数とする．曲線$x^2+(y-a)^2=9$と軌跡$C$との共有点について，以下の問いに答えよ．
\mon[$(3)$] $a=4$のとき，共有点の個数を求めよ．
\mon[$(4)$] $a$の値によって共有点の個数がどのように変わるか調べよ．