$i$を虚数単位とする．複素数$z$が等式$|iz+3|=|2z-6|$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)この等式を満たす点$z$全体は，どのような図形を表すか答えよ．
(2)$z-\overline{z}=0$を満たす$z$を求めよ．
(3)$|z+i|$の最大値を求めよ．

平面内にベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$がある．下の問いに答えなさい．

(1)次の等式を証明しなさい．
\[ |\overrightarrow{a|+\overrightarrow{b}}^2-|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=4 \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \]
(2)$m,\ n$を実数とするとき，次の等式を証明しなさい．
\[ |m \overrightarrow{a|+n \overrightarrow{b}}^2+mn |\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}^2=(m+n)(m |\overrightarrow{a|}^2+n |\overrightarrow{b|}^2) \]
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=4$，$\mathrm{AB}=3$とする．線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}$とするとき，線分$\mathrm{OC}$の長さを求めなさい．

関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(3x)+g(2x)=\sin 6x \quad \cdots\cdots (*) \\
f^\prime(3x)+g^\prime(2x)=\sin 6x \phantom{\frac{[　]}{[　]}} \\
f(0)=3
\end{array} \right. \]
を満たしている．下の問いに答えなさい．

(1)等式$(*)$の両辺を$x$で微分しなさい．
(2)$f^\prime(3x)$を求めなさい．
(3)$f(x),\ g(x)$を求めなさい．

$n$を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし，
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする．$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について，次の等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明しなさい．
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし，
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする．また，$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し，$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく．

(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい．
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい．

点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$に対して，点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2,\ 0)$と点$\mathrm{C}(c_1,\ c_2,\ c_3)$は
\[ \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=\frac{3\pi}{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB|}}=|\overrightarrow{\mathrm{OC|}}=1 \]
を満たしているとする．$b_2>0$，$c_3>0$，また，$\displaystyle p=2 \cos \frac{\pi}{5}$とするとき，以下の問いに答えなさい．ただし，次の等式$①$を証明なしに用いてもよい．
\[ 4 \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5}=1 \cdots\cdots ① \]

(1)等式$p^2=p+1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle b_1=\frac{1-p}{2}$であることを示しなさい．
(3)点$\mathrm{E}(0,\ 0,\ 1)$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を実数$k,\ l,\ m$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=k \overrightarrow{\mathrm{OA}}+l \overrightarrow{\mathrm{OB}}+m \overrightarrow{\mathrm{OE}} \]
と表すとき，$\displaystyle m^2=\frac{2+p}{5}$であることを示しなさい．
(4)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．$\displaystyle V=\frac{p}{12}$であることを示しなさい．

すべての実数$x$に対して微分可能な関数$f(x)$が等式
\[ e^{-x}f(x)+\int_0^x e^{-t} f(t) \, dt=1+e^{-2x}(3 \sin x-\cos x) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$e^{-x} \sin x$の導関数を求めよ．さらに，$f(x)$を求めよ．

複素数平面上で，複素数$z$に対応する点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(z)$と表す．$3$点$\mathrm{O}(0)$，$\mathrm{A}(1)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$がある．ただし，複素数$\beta$の偏角$\theta$は，$0<\theta<\pi$を満たすとする．また，$s$と$t$は$4s-t^2>0$を満たす実数とする．等式
\[ \beta^2-t \beta+s=0 \]
が成り立つとき，以下の各問に答えよ．

(1)複素数$\beta$の実部と虚部をそれぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(2)複素数$\beta$の絶対値と，偏角$\theta$に対する$\sin \theta$を，それぞれ$s$と$t$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$が二等辺三角形になるために$s$と$t$が満たすべき条件を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$が$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$である二等辺三角形とする．このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{4}$となる$s$と$t$の値の組をすべて求めよ．

次の数値の整数部分と小数部分をそれぞれ$x,\ y$とする．
\[ \frac{1}{5-\sqrt{23}} \]
このとき次の等式が成り立つ．

$x=[ア],$

$y=\frac{\sqrt{[イ][ウ]}-[エ]}{[オ]},$

$4x^2+3xy+4y^2=[カ][キ]$

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(u)=\log (\sqrt{u}-1)-\log (\sqrt{u}+1)$の導関数$f^\prime(u)$を求めよ．
(2)関数$F(x)=\log (\sqrt{e^{2x}+1}-1)-\log (\sqrt{e^{2x}+1}+1)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(3)等式$\displaystyle \sqrt{e^{2x}+1}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}+1}}+\frac{1}{\sqrt{e^{2x}+1}}$を用いて，不定積分$\displaystyle \int \sqrt{e^{2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)曲線$\displaystyle y=e^x \left( \frac{1}{2} \log 8 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \log 24 \right)$の長さを求めよ．

$f(x)$は$2$次関数であり，$f(0)=f(1)=0$を満たすとする．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする．このとき，$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=[キ]$と表される．
(2)定積分
\[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \]
の値が最も小さくなるのは$f(x)=[ク]$のときである．また，そのときの定積分の値は$[ケ]$である．
以下では，$f(x)=[ク]$，$m=[ケ]$とする．
(3)関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし，その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする．さらに，$I$と$J$を


$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$

$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$


で定める．このとき，等式
\[ I=J \]
を証明しなさい．
(4)関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし，その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする．このとき，不等式
\[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \]
を証明しなさい．