$f(x)$は$2$次関数であり，$f(0)=f(1)=0$を満たすとする．
(1) $\displaystyle a=\frac{1}{2}f^{\prime\prime}(0)$とする．このとき，$f(x)$は$a$を用いて$f(x)=\fbox{キ}$と表される．
(2) 定積分 \[ \int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx \] の値が最も小さくなるのは$f(x)=\fbox{ク}$のときである．また，そのときの定積分の値は$\fbox{ケ}$である．
以下では，$f(x)=\fbox{ク}$，$m=\fbox{ケ}$とする．
(3) 関数$h(x)$は$h(0)=h(1)=0$を満たし，その導関数$h^\prime(x)$は連続であるとする．さらに，$I$と$J$を
$\displaystyle I=\int_0^1 \{(f^\prime(x)+h^\prime(x)-x)^2-(f(x)+h(x))\} \, dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \{(f^\prime(x)-x)^2-f(x)\} \, dx+\int_0^1 (h^\prime(x))^2 \, dx$
で定める．このとき，等式 \[ I=J \] を証明しなさい．
(4) 関数$g(x)$は$g(0)=g(1)=0$を満たし，その導関数$g^\prime(x)$は連続であるとする．このとき，不等式 \[ \int_0^1 \{(g^\prime(x)-x)^2-g(x)\} \, dx \geqq m \] を証明しなさい．